Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Выберем
в каждом из частичных интервалов по произвольной точке 
и составим сумму (интегральная сумма) 
.
План исследования функции и построение графика
Выпуклость и вогнутость графика функции
Если существует предел интегральной
суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения:
,
то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана
на интервале [a, b]. Предел этой суммы
называется
определенным интегралом от f(x) по интервалу [a,
b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает,
что для любого положительного числа 
существует такое число 
, что
при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины
которых меньше 
.
и
при любом выборе промежуточных точек 
выполняется неравенство
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия.
Ряды с постоянными членами
Поверхности Способы аналитического задания
Производные и дифференциалы Определение производной