Математический анализ Неопределенный интеграл Определенный интеграл Пределы

Математика Неопределенные и несобственные интегралы примеры

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y).

Определенные интегралы (интеграл Римана).

Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма) . План исследования функции и построение графика Выпуклость и вогнутость графика функции

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа существует такое число , что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

Теоремы о среднем

Операционное исчисление

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия.

Плоские линии

Способы задания плоскости

Абсолютная сходимость

Ряды с постоянными членами

Поверхности Способы аналитического задания

Производные и дифференциалы Определение производной

Векторы

Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).
Основные правила интегрирования