Этот курс является составной частью направления, называемого теоретической кибернетикой, или теоретической информатикой. Это математическая
дисциплина. Она использует методы математики для построения и изучения моделей
обработки, передачи и использования информации. Поскольку информация по своей
природе дискретна, то и использует она результаты дискретной математики. Это формальные
грамматики, графы, множества, сети и т.д. Сама теоретическая информатика распадается
на ряд самостоятельных дисциплин. Для исследования реальных систем с помощью компьютера
необходимо иметь их математические модели. Моделирование систем
- это наука, которая создает и использует специальные приемы воспроизведения процессов,
протекающих в реальных объектах, в машинных моделях. Математическая
модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное
с помощью математической символики. В зависимости от характера изучаемых процессов
в системе все виды моделирования могут быть разделены
на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные,
непрерывные и дискретно-непрерывные.
Существенное место при мысленном наглядном
моделировании занимает макетирование Аналитическая
модель может быть исследована следующими методами Метод
имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем,
включая задачи оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов
управления системой, влияния изменения различных параметров системы и др. Объективно
сложные системы не поддаются исследованию с помощью эксперимента Винера. Это
системы, способные целенаправленно перестраивать свою деятельность. Живое существо
– типичный пример такой системы Структура системы ситуационного
управления Технологическая схема имитационного моделирования
Выходом является рассмотрение в единых рамках построения модели, организации имитационных
экспериментов и создания программного обеспечения моделирования.
Теория математических моделей условно разделяется на две составляющие:
структурную и динамическую. На этапе исследования и проектирования
систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических
и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло),
который базируется на использовании случайных чисел.
Пример
решения детерминированной задачи Пусть надо оценить объем VG некоторой ограниченной
пространственной фигуры G Необходимо методом статистического
моделирования найти оценки выходных характеристик некоторой стохастической
системы SR Три способа получения случайных чисел Моделирование
дискретных случайных величин Моделирование случайных
событий сводится к моделированию дискретных случайных
величин Моделирование непрерывных
случайных величин Случайная точка Q равномерно распределенная
в шаре Применение полярных координат Пример
Смоделировать случайную величину Метод суперпозиции Вывести
явную формулу для моделирования
Моделирование
биномиальных распределений Моделирование усеченных
распределений Метод Неймана Общий метод оценки математических
ожиданий Простейший метод Монте-Карло Пример.
Пусть надо вычислить интеграл Частичное аналитическое интегрирование
Интегрирование по части области Теорема. Минимальная
дисперсия DZ0 реализуется в случае, когда плотность p(P) пропорциональна |f(P)|
Записать формулы для расчета методом Монте-Карло интегралов
Задачи теории массового обслуживания Системы массового
обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков
Терминология по ТМО в определенной степени стандартизирована,
а обозначения (по Кендаллу) унифицированы. Чтобы исследовать СМО, необходимо,
как мы уже отметили, построить ее мат. модель. Для этого надо уметь описывать
случайные процессы, протекающие в системах с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Назовем их потоками событий. Поток событий
называется ординарным, если вероятность попадания на
элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью
попадания одного события. В пуассоновском потоке число событий, попадающих на
любой участок, распределено по закону Пуассона Теперь
вернемся к системе с дискретными состояниями и непрерывным
временем Если число состояний системы S конечно и из любого состояния можно перейти
за то или иное число шагов в любое другое, то предельные вероятности существуют
и не зависят от начального состояния системы. Мы знаем,
что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения
Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические
уравнения для финальных вероятностей
Формула Литтла
Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного стационарного
режима) среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания
(т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки
в системе Wсист. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики
В этой лекции мы рассмотрим некоторые простейшие СМО
и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). Решение.
Номер состояния системы равен числу заявок в системе. Пример.
Имеется станция связи с тремя каналами В теории массового обслуживания одноканальные
СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство
полученных до сих пор аналитических формул для немарковскнх систем) Теоретически
число состояний ничем не ограничено (бесконечно) Найдем
среднее число заявок в СМО Lсист Пример. Одноканальная
СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию,
на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью l=
2 (состава в час) Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет
собой двухканальную СМО с неограниченной очередью Задача
отличается от задачи с бесконечной очередью только тем, что число
заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного m).
Если новая заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает
СМО необслуженной (получает отказ).
В этом параграфе мы кратко рассмотрим
некоторые вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До
сих пор все формулы нами выводились из схемы гибели и размножения, формулы Литтла
и умения дифференцировать Рассматривается одноканальная СМО с неограниченной очередью,
на которую поступает произвольный рекуррентный поток заявок
с интенсивностью l и коэффициентом вариации nl интервалов
между заявками, заключенным между нулем и единицей: 0<nl<1.
Спроектировать АТС, чтобы она обладала пропускной способностью,
при которой вероятность получения абонентом отказа в обслуживании не превосходила
бы 0.01. Планирование машинных экспериментов с моделями
систем. Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования. Рассмотрим
примеры хорошего и плохого планов эксперимента. Обеспечение
точности и достоверности результатов моделирования Оценка
чувствительности модели