Теоретическая информатика Моделирование систем Математическая модель Аналитическая модель Имитационное моделирование Метод суперпозиции метод Монте-Карло Теория массового обслуживания уравнения Колмогорова Формула Литтла Пример СМО

Интегрированные системы моделирования (ИСМ) можно рассматривать в качестве программного средства моделирования шестого поколения, развивающего важнейшие особенности средств пятого поколения и ориентированного на использование не только массовых компьютеров, но и массивно-параллельных высокопроизводительных вычислительных систем.

Схема гибели и размножения

Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы пред­ставляет собой так называемую «схему гибели и раз­множения».

lll2 … lk-1  lk … ln-1 

 … … 

 mmm3 mk mk+1 mn

Рис.6.1. Граф состояний для процесса гибели и размножения.

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис.6.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытя­нуть в одну цепочку, в которой каждое из средних со­стояний (S1; Si ;..., Sn-i) связано прямой и обратной стрелкой, с каждым из соседних состояний—правым и левым, а крайние состояния (So, Sn) — только с од­ним соседним состоянием. Термин «схема гибели и раз­множения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встреча­ется в разных задачах практики, в частности — в тео­рии массового обслуживания, поэтому, полезно один раз и навсегда найти для нее финальные вероятности состоянии.

Предположим, что все потоки событий, переводя­щие систему по стрелкам графа,— простейшие. Пользуясь графом рис.6.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятно­стей состояний, их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно. Для со­стояния So имеем:

l0p0=m1p1 (6.1)

или p1=p0l0/m1.

Для состояния S1:

l0p0+m2p2=l1p1 +m1p1,

или 

m2p2=l1p1 (6.2)

Последнее равенство приводится к виду

p2=p1l1/m2

далее совершенно аналогично

pk=pk-1lk-1/mk= p0l0l1…lk-1/m1m2…mk (6.3)

и вообще

pn=pn-1ln-1/mn, (6.4)

где k принимает все значения от 0 до n. Итак, фи­нальные вероятности ро, p1,…,рп удовлетворяют урав­нениям (6.1-6.4).

Обратим внимание на формулу для pk: В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данно­го состояния Sk, а в знаменателе—произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk).

Учитывая нормировочное условие, получим

p0+ p0l0/m1+p0l0l1/m1m2+…+ p0l0l1…ln-1/m1m2…mn=1,

p0=(1+l0/m1+l0l1/m1m2+…+l0l1…ln-1/m1m2…mn)-1 (6.5)

Cкобку мы возвели в степень (-1), чтобы не писать двухэтажных дробей. Все остальные вероятности вы­ражены через ро (см. формулы (6.1)—(6.4)).

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

Системная динамика представляет собой совокупность принципов и методов анализа динамических управляемых систем с обратной связью и их применения для решения производственных, организационных и социально-экономических задач. Три достижения, обеспеченные в основном благодаря разработкам в области вооружений, сделали возможным применение системной динамики
Теоретическая кибернетика Моделирование систем