Теоретическая информатика Моделирование систем Математическая модель Аналитическая модель Имитационное моделирование Метод суперпозиции метод Монте-Карло Теория массового обслуживания уравнения Колмогорова Формула Литтла Пример СМО

Интегрированные системы моделирования (ИСМ) можно рассматривать в качестве программного средства моделирования шестого поколения, развивающего важнейшие особенности средств пятого поколения и ориентированного на использование не только массовых компьютеров, но и массивно-параллельных высокопроизводительных вычислительных систем.

Формула Литтла

Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного стационарного режима) среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе Wсист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многока­нальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий:

поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.

Если в системе установился предельный, стационарный ре­жим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интен­сивность l.

Обозначим: Х(t)—число заявок, прибывших в СМО до момента t,

 Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t.


Рис.6.2. Траектории X(t) и Y(t)

И та, и другая функции являются слу­чайными и меняются скачком (увеличиваются на еди­ницу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов зая­вок (У(t)). Вид функций X(t) и У(t) показан на рис.6.2; обе линии — ступенчатые, верхняя — X(t), нижняя — Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z(t) = Х(t) —Y(t) есть не что иное, как чис­ло заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и У(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чер­тежа) и вычислим для него среднее число заявок, на­ходящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функ­ции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

L=.

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис.6.2. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высо­ту, равную единице, и основание, равное времени пре­бывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t1, t2 ,... Правда, в конце промежутка Т некоторые прямоуголь­ники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

, где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим и умножим правую часть на ин­тенсивность l.

Но величина Тl есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист. Итак, L=lW, откуда

Wсист = Lсист /l. (6.6)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при лю­бой дисциплине обслуживания среднее время пре­бывания заявки в системе равно среднему числу зая­вок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заяв­ки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч: Wоч =Lоч /l.

Для вывода достаточно вместо нижней линии из рис.6.2 взять функцию U{t) — количество заявок, ушедших до момента Т не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находит­ся в ней нулевое время).

Формулы Литтла играют большую роль в теории массового обслуживания.

Системная динамика представляет собой совокупность принципов и методов анализа динамических управляемых систем с обратной связью и их применения для решения производственных, организационных и социально-экономических задач. Три достижения, обеспеченные в основном благодаря разработкам в области вооружений, сделали возможным применение системной динамики
Теоретическая кибернетика Моделирование систем