В этом параграфе мы кратко рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До сих пор все формулы нами выводились из схемы гибели и размножения, формулы Литтла и умения дифференцировать. То, что будет рассказано в данном параграфе, придется принять на веру.
В марковских СМО все потоки событий, переводящие их из состояния в состояние, были простейшими. А как быть, если они не простейшие? Насколько реально это допущение? Насколько значительны ошибки, к которым оно приводит, когда это условие нарушается? Как это ни грустно, но надо признаться, что в области немарковской теории массового обслуживания похвастаться особенно нечем. Для немарковских СМО существуют только отдельные, считанные результаты, позволяющие выразить в явном, аналитическом виде характеристики СМО через заданные условия задачи - число каналов, характер потока заявок, вид распределения времени обслуживания. Приведем некоторые из этих результатов.
n-канальная СМО с отказами, с простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания - M| G| n.
В предыдущей лекции мы вывели формулы Эрланга для финальных вероятностей состояний СМО с отказами. В 1959 г. Б. А. Севастьянов доказал, что эти формулы справедливы не только при показательном, но и при произвольном распределении времени обслуживания.
Одноканальная СМО с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания – M| G| 1. Если на одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью l, а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием tобсл=1/m и коэффициентом вариации nm , то среднее число заявок в очереди равно
Lоч=
(7.15)
А среднее число заявок в системе
Lсист=Lоч+r=
+r,
(7.16)
где, как и ранее, r=l/m, а nm- отношение среднеквадратического отклонения времени обслуживания к его математическому ожиданию. Формулы (7.15)-(7.16) носят название формул П о л л а ч е к а — Х и н ч и н а.
Деля Lоч и Lсист на l, получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе.
Заметим, что в частном случае, когда время обслуживания - показательное, nm= 1 и формулы (7.15)-(7.16) превращаются в уже знакомые нам формулы (7.10), для простейшей одноканальной СМО. Возьмем другой частный случай - когда время обслуживания вообще не случайно и nm=0. Тогда среднее число заявок в очереди уменьшается вдвое по сравнению с простейшим случаем. Это и естественно: если обслуживание заявки протекает более организованно, «регулярно», то СМО работает лучше, чем при плохо организованном, беспорядочном обслуживании.
Одноканальная СМО с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания – G| G| 1.