Основные понятия кинематики

Механика движение тела

Основные понятия кинематики

Для описания движения (изменения положения тела в пространстве с течением времени) необходимо иметь способ задания пространственного положения тела и измерения интервалов времени. Для задания положения тела в пространстве необходимо выбрать какое-нибудь материальное тело (тело отсчета) и через одну из его точек (точку отсчета) провести три взаимно перпендикулярные прямые (оси координат) с отложенным масштабом для измерения расстояний. Описанная совокупность носит название системы координат. Добавление к системе координат прибора для измерения времени (часов) превращает ее в систему отсчета.

Числа, при помощи которых задается положение тела относительно выбранной системы отсчета называют координатами тела. Для задания положения различных тел может потребоваться различное число координат. Минимальное количество координат, необходимое для исчерпывающего описания положения свободного (т.е. н взаимодействующего с другими объектами) тела в пространстве называется числом степеней свободы этого тела. Чем большим числом степеней свободы обладает тело, чем сложнее оказывается задача описания его движения. Среди макроскопических тел минимальным числом степеней свободы обладают так называемые абсолютно - твердые тела. Такие недеформируемые тела способны перемещаться и вращаться вдоль (вокруг) любого из трех направлений, определяемых осями координат и, следовательно, обладают шестью степенями свободы. При решении многих задач механики могут оказаться малосущественными размеры рассматриваемого тела, относительные перемещения его частей и вращение тела как целого. В этом случае количество рассматриваемых степеней свободы может быть искусственно уменьшено до трех. В результате реальное тело заменяется его математической моделью - материальной точкой ("тело, размерами и формой которого в рамках рассматриваемой задачи можно пренебречь").

Три координаты, однозначно определяющие положение материальной точки в выбранной системе координат, называют радиус-вектором материальной точки (3.1). Для векторов в математике определяются операции сложения и умножения на число, скалярного умножения и векторного умножения (3.2-3.5). Большинство законов элементарной физики обычно записывают в виде векторных равенств. Такая форма записи более предпочтительна по сравнению со скалярной, поскольку является более компактной и не изменяет свою форму при поворотах системы координат (несмотря на то, что проекции входящих в уравнения векторов при поворотах системы координат разумеется изменяются).

В процессе движения положение материальной точки изменяется во времени и конец радиус-вектора вычерчивает в пространстве кривую, называемую траекторией материальной точки. Перемещением материальной точки за заданный интервал времени называется вектор, равный разности радиус-векторов ее конечного и исходного положений (3.6). В отличие от перемещения пройденный путь является скаляром и численно равен длине дуги пройденного участка траектории.

Отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло, называется средней скоростью. Средняя скорость за очень короткий промежуток времени называется мгновенной скоростью (3.6). Средняя скорость направлена по секущей, а мгновенная - по касательной к траектории материальной точки. Отношение приращения скорости ко времени называется средним ускорением, среднее ускорение за короткий интервал времени - мгновенным ускорением (3.7).

Каждое из приведенных векторных равенств можно заменить системой из трех скалярных равенств, получаемых в результате проектирования на оси координат. Произвольное движение тела в пространстве можно рассматривать как совокупность (суперпозицию) трех прямолинейных движений вдоль каждой из осей координат. Т.о. изучение трехмерного движения может быть сведено к анализу трех одномерных движений.

[Image][Image]

(3.1)

Радиус-вектор материальной точки

[Image][Image]

(3.2)

Сумма двух радиус-векторов

[Image][Image]

(3.3)

Произведение радиус-вектора на число

[Image]

(3.4)

Скалярное произведение векторов

[Image][Image]

(3.5)

Векторное произведение двух векторов

[Image]

(3.6)

Определение вектора перемещения.

[Image]

(3.7)

Средняя и мгновенная скорости.

[Image]

(3.8)

Среднее и мгновенное ускорения.

Движение в пространстве с постоянной скоростью.

Оптимальная траектория перехвата.

Равноускоренное движение в пространстве Подобно тому, как это было продемонстрировано в случае движения с постоянной скоростью, формулы одномерного равноускоренного движения обобщаются в векторные соотношения для движения с постоянным ускорением в пространстве (13.20).

Расстояние между свободно падающими телами.

Утверждения в физике: определения, законы природы и их следствия.

Устойчивость движений механических систем Устойчивость и асимптотическая устойчивость. Устойчивость и неустойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами в зависимости от расположения собственных значений. Устойчивость по Ляпунову решений автономных систем. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Достаточные условия устойчивости положения равновесия консервативной системы, теорема Лагранжа - Дирихле. Теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Законы Ньютона