Тройные интегралы примеры решений

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Пример Найти объем шара x² + y² + z² ≤ R².
Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz
Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0
Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:
Вычислить объем эллипсоида Кратные и криволинейные интегралы.
Найти объем тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 6 и параболоидом x² + y² = z.
Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x² − y² и конической поверхностью .
Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной
Вычислить интеграл .
Вычислить интеграл .
Замена переменных в двойных интегралах
Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.
Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .
Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .
Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .
Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .
Замена переменных в тройных интегралах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Найти объем области U, заданной неравенствами
Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
Замена переменной в определенном интеграле
Вычислить интеграл .
Вычислить интеграл .
Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .
Вычислить площадь эллипса .
Определение двойного интеграла
Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).
Свойства двойного интеграла
Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана
Оценить максимальное значение тройного интеграла
Производная сложной функции "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Определить производную функции .
Продифференцировать .
Вычислить интеграл .
Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат
Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.
Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой
Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .
Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Проектирование локальной сети