Двойные интегралы примеры решений

Двойные интегралы в произвольной области
Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .
Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .
Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .
Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .
Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).
Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник .
Пример Вычислить двойной интеграл , заданный в области .
Вычислить интеграл , заданный в области .
Геометрические приложения двойных интегралов
Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .
Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .
Вычислить объем единичного шара
Вычислить площадь сферы радиуса a.
Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Длина кривой;
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
Найти длину кривой при условии .
Вычислить длину астроиды .
Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале
Вычислить длину параболы в интервале .
Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением
Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0.
Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности;
Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.
Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.
Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.
Вычислить объем эллипсоида .
Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .
Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс
С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте
Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность
Найти площадь области R, ограниченной астроидой .
Несобственные интегралы Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].
Определить, при каких значениях k интеграл сходится.
Вычислить интеграл .
Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?
Определить, при каких значениях k интеграл сходится.
Вычислить периметр единичной окружности.
Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
Вычислить .
Вычислить .
Интегральный признак Коши
Определить, сходится или расходится ряд .
Определить, сходится или расходится ряд .
Интегрирование по частям Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,
Вычислить интеграл .
Вывести формулу редукции (понижения степени) для .
Интегрирование гиперболических функций
Вычислить .
Найти интеграл .
Вычислить интеграл .

Проектирование локальной сети