Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета


Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Способы соединения фаз трехфазных приемников.

Приемники трехфазного тока могут подключаться к генератору по двум схемам – звезды () и треугольника (). Как известно, на выходе трехфазного генератора получаются два напряжение (линейное и фазное), отличающиеся в Uл/Uф = раз. С другой стороны каждый приёмник энергии рассчитан на работу при определенном напряжении, которое называется номинальным. Схема соединения фаз приемника должна обеспечить подключение его фаз номинальное фазное напряжение. Таким образом, выбор схемы соединения фаз трехфазного приемника зависит от соотношения номинальных напряжений приемника и генератора (сети).

Схема звезды применяется в том случае, если номинальное напряжение приемника соответствует (равно) фазному напряжению генератора. При соединении в звезду концы фаз приемника объединяются в одну точку “n”, называемую нулевой или нейтральной, а начала фаз подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами. Если нулевая точка приемника “n” соединена с нулевой точкой генератора “N” нулевым проводом, то схема получила название звезды с нулевым проводом (рис. 91а). При отсутствии нулевого провода схема носит название звезды без нулевого провода (рис. 91б).

Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными.

Токи, протекающие в фазах приемника по направлению от начал к концам, называются фазными. В схеме звезды фазы приемника включены последовательно с линейными проводами и по ним протекают одни и те же токи (IA, IB, IC). Поэтому для схемы звезды понятия линейные и фазные токи тождественны: IЛ = IФ.

Ток, протекающий в нулевом проводе от приемника к генератору, называется нулевым или нейтральным (IN).

 

Напряжения между началами и концами фаз приемника называются фазными (UAn, UBn, UCn), а напряжения между началами фаз – линейными (UAB, UBC, UCA). Линейные напряжения приемника и генератора тождественно равны.

В схеме звезды с нулевым проводом (рис. 91а) к каждой фазе приемника подводится непосредственно фазное напряжение генератора (UAN = UAn = UA, UBN = UBn = UB, UCN = UCn = UC), каждая из фаз при этом работает независимо друг от друга, а линейные (фазные) токи определяются по закону Ома:

.

Ток в нулевом проводе в соответствии с первым законом Кирхгофа равен геометрической сумме линейных (фазных) токов:

.

Пример. Исходные данные: UЛ ⁄ UФ = 380 ⁄ 220 В, ZA= 100ej35 Ом, ZВ= 110ej20 Ом, ZС= 140ej35 Ом. Определить линейные (фазные) токи IA, IB, IC и ток в нулевом проводе IN.

 А,

А,

А,

 A.

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 92.

 

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1.  или , где  - критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

В этом случае

.

(3)

2.  - предельный случай апериодического режима.

В этом случае  и

.

(4)

3.  - периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае  и

(5)

где  - коэффициент затухания;  - угловая частота собственных колебаний;  - период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

.

При несимметричной нагрузке относительная величина тока в нулевом проводе зависит от характера и степени не симметрии фазных токов. Как правило, трехфазные приёмники стремятся спроектировать по возможности близкими к симметричным, поэтому ток в нулевом проводе в реальных условиях значительно меньше линейных (фазных) токов.

В схеме звезды без нулевого провода (рис. 91б) при любой нагрузке фаз должно выполняться условие первого закона Кирхгофа:

.

Из уравнения следует вывод, что изменение одного из токов влечет изменение двух других токов, то есть отдельные фазы работают в зависимом друг от друга режиме. При несимметричной нагрузке потенциал нулевой точки приемника Un становится не равным нулю, он “смещается” на комплексной плоскости с нулевого положения, при этом фазные напряжения приемника () не равны соответствующим фазным напряжениям генератора (), происходит так называемый перекос фазных напряжений приемника (рис. 93).

Схема треугольника применяется в том случае, если номинальное фазное напряжение приемника соответствует (равно) линейному напряжению генератора. При соединении в треугольник конец каждой фазы соединяется с началом последующей, а точки соединения (вершины треугольника) подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами (рис.94).

Токи, протекающие в фазах приемника по направлению от их начал к концам, называются фазными (). Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными ().

 

В схеме треугольника фазные и линейные напряжения приемника тождественно равны (). В этой схеме к каждой фазе приемника подводится непосредственно линейное напряжение генератора, при этом отдельные фазы работают независимо друг от друга. Фазные токи определяются по закону Ома:

Расчет сложных трехфазных цепей

Сложная трехфазная цепь, например, объединенная энергосистема, может содержать большое число трехфазных генераторов, линий электропередачи, приемников трехфазной энергии. Схема такой цепи представляет собой типичный пример сложной цепи переменного тока. Установившейся режим в такой схеме может быть описан системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, составленных по одному из методов расчета сложных цепей (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов). Наиболее рациональным методом расчета таких трехфазных цепей является метод узловых потенциалов, при этом составление уравнений и их решение производится в матричной форме.

В более простых случаях возможно применение любых методов расчета, позволяющих получить экономичное решение задачи. На рис. 96 представлена схема параллельного подключения нескольких трехфазных приемников с различными схемами соединения фаз к одному генератору. В представленной схеме расчет фазных и линейных токов каждого из приемников может выполняться индивидуально и независимо друг от друга, а линейные токи источника определяются как геометрические суммы токов всех приемников, например, .

Следовательно, независимо от схемы соединения (звезда или треугольник) для симметричной трехфазной цепи формулы для мощностей имеют одинаковый вид:

  [Вт],

 [вар],

  [ВА].

В приведенных формулах для мощностей трехфазной цепи подразумеваются линейные значения величин U и I, но индексы при их обозначениях не ставятся.

Активная мощность в электрической цепи измеряется прибором, называемым ваттметром, показания которого определяется по формуле:

, где Uw, Iw - векторы напряжения и тока, подведенные к обмоткам прибора.

 

Для измерения активной мощности всей трехфазной цепи в зависимости от схемы соединения фаз нагрузки и ее характера применяются различные схемы включения измерительных приборов.

Для измерения активной мощности симметричной трехфазной цепи применяется схема с одним ваттметром, который включается в одну из фаз и измеряет активную мощность только этой фазы (рис. 99). Активная мощность всей цепи получается путем умножения показания ваттметра на число фаз: . Схема с одним ваттметром может быть использована только для ориентированной оценки мощности и неприменима для точных и коммерческих измерений.

Для измерения активной мощности в четырехпроводных трехфазных цепях (при наличии нулевого провода) применяется схема с тремя приборами (рис. 100), в которой производится измерение активной мощности каждой фазы в отдельности, а мощность всей цепи определяется как сумма показаний трех ваттметров:

.

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и, следовательно, все рассмотренные ранее методы расчета и анализа в символической форме в полной мере распространяются на них. Анализ трехфазных систем удобно осуществлять с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между переменными. Однако определенная специфика многофазных цепей вносит характерные особенности в их расчет, что, в первую очередь, касается анализа их работы в симметричных режимах.


Электрические цепи трехфазного тока