Числовая последовательность и ее предел

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Гипербола и парабола.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a2 + b2 = c2.

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x2 - y2 = a2.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

Решение задачи 5.

1) Область определения функции  найдем из условия :

 

При n = 0 получаем  при  интервалы  Следовательно, область определения

2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции  в точках , k = 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т.е. в точках, где выполнено условие , и заполним таблицу 3.

 

Таблица 3.

k

k

0

0

1

π/8

9

9π/8

3,7

2

2π/8

10

10π/8

2,8

3

3π/8

11

11π/8

1,5

4

4π/8

0

12

12π/8

0

5

5π/8

1,5

13

13π/8

6

6π/8

2,8

14

14π/8

7

7π/8

3,7

15

15π/8

8

4

16

 

Для построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции  в ПСК (рис. 16).

 3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

 Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки  получим: . Следовательно, уравнение кривой   в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: .

4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

  Это уравнение задает окружность с центром в точке O1(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O1(–2; 0) в ПСК:

,

(здесь выбираем n = 1, т.к. четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения:  

2) чертеж на рис. 16; 

3) уравнение кривой  в ДСК: ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке  и с радиусом R = 2.

Инвариантные подпространства линейных пространств. Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.
Способы задания функций аналитический способ