Числовая последовательность и ее предел

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Понятие обратной и сложной функции.

Взаимно обратные функции

Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х  через  у, мы получим равенство вида  х = g(y). В этой записи  g  обозначает функцию, обратную к  f.

Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g.

Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f  совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с областью определения функции  g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

Понятие о сложной функции

Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись  означает, что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е. .

Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: .

Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

  Если известны координаты точек – начала и конца вектора :

 А (xА , yА , zА), B(xВ, yB, zB), то проекции вектора  можно найти по формуле:

 . (37)

Пусть даны векторы = {ax; ay; az} и = {bx; by; bz}, тогда проекции суммы (разности) векторов:

.  (38)

Произведение вектора на число: если λ – число и , то

= { λax; λay; λaz }. (39)

 Скалярное произведение векторов  и  – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

 

где φ – угол между векторами  и .

 Другие обозначения скалярного произведения: , .

 Если = {ax; ay; az}, = {bx; by; bz}, то скалярное произведение

  (40)

Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные формы. Билинейные и квадратичные формы. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Способы задания функций аналитический способ