Числовая последовательность и ее предел

Схема вычисления производной

Экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y - приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции.

Производная

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков.

Суммарный доход (выручку) от реализации продукции r можно определить как произведение цены единицы продукции p на количество продукции q, т.е. r = pq.

В условиях монополии одна фирма полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса p(q) - есть линейная убывающая функция p = aq + b, где a > 0, b < 0. Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит r = (aq + b) = aq2 + bq. В этом случае средний доход на единицу продукции rср = r/q = aq + b, а предельный доход составит r'q = 2aq + b. Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с минимальной скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, p = b. При этом суммарный доход составит r = qb и соответственно средний доход rср = r/q = b и предельный доход r'q = b. Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка средний и предельный доходы совпадают.

3) Решим систему при помощи обратной матрицы.

Определитель  следовательно, обратная матрица существует.

б) Чтобы найти союзную матрицу А* к матрице А, необходимо вычислить по формулам (26) алгебраические дополнения всех ее элементов:

Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).

Тогда союзная матрица (см. формулу (31)): 

в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):

г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило «строка на столбец»):

.

  Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.

Ответы:

1) система в матричном виде: AX = B, где ;

2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:

;

3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:

.

Определение квадратичной формы, матрица формы, ранг формы, закон изменения при невырожденной замене переменных, приведение к каноническому виду методом выделения полных квадратов. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства (эллипс, гипербола, парабола). Пространственные поверхности второго порядка, их канонические уравнения и свойства.
Способы задания функций аналитический способ