Числовая последовательность и ее предел

Схема вычисления производной

Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда:

a p-1 є 1(mod p) .

Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14) . Получаем a p-1 є 1(mod p) .

Необходимо отметить важность условия взаимной простоты модуля и числа a в формулировках теорем Эйлера и Ферма. Простой пример: сравнение 6 2 є 1(mod 3) очевидно не выполняется. Однако можно легко подправить формулировку теоремы Ферма, чтобы снять ограничение взаимной простоты.

 Теорема Ролля.

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x Î [a; b] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'(c)=0. Теорема доказана.

Раскрытие неопределенностей вида  и  по правилу Лопиталя

1. Неопределенность вида . Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида . Второе правило Лопиталя.

Если = , то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0×, -, 1 и 00 сводятся к неопределенностям  и  путем алгебраических преобразований.

Для этого вычислим скалярное произведение  и  по формуле (40): = –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора : , тогда и

Проекцию вектора  на направление  вычислим по формуле (42):

Площадь треугольника, построенного на векторах  и  найдем по

формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах  и :

  (кв.ед.).

Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах

  находим смешанное произведение векторов по формуле (45):

тогда объема параллелепипеда по формуле (47): .

Ответы:

модуль вектора :

координаты вектора

угол между векторами  и :

проекция вектора  на направление вектора :

площадь треугольника, построенного на векторах  и :  (кв.ед.);

объем параллелепипеда, построенного на векторах : (куб.ед.).

Определение квадратичной формы, матрица формы, ранг формы, закон изменения при невырожденной замене переменных, приведение к каноническому виду методом выделения полных квадратов. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства (эллипс, гипербола, парабола). Пространственные поверхности второго порядка, их канонические уравнения и свойства.
Способы задания функций аналитический способ