Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Закон распределения дискретной случайной величины

Классические методы

В классической статистике рассматривается параметрическая модель: выборка x1,x2,…,xn соответствует распределению известного вида, то есть функция распределения F(х) с плотностью распределения f(х) задана с точностью до одного или двух неизвестных параметров. Чаще всего предполагают, что распределение выборки нормальное с параметрами тx и sx,. Такая определенная полная модель позволила развить полный статистический аппарат, позволяющий решать основные задачи оценивания и проверки гипотез.

При таком подходе основными требованиями оценок являются их несмешенность, состоятельность и эффективность. Требование несмещенности на практике не всегда целесообразно, поскольку оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее, чем несмещенная оценка с большой дисперсией.

Из методов получения оценок наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с приближенно нормальным распределением. В этом случае на основе заданной выборки x1,x2,…,xn с известной (с точностью до параметров) плотностью распределения f(x,Q1,…,Qk) составляют функцию правдоподобия:

 (2.1)

В качестве оценок выбирают значения параметров, которые максимизируют функцию правдоподобия, что приводит к системе уравнений:

Приведем оценки максимального правдоподобия для наиболее важных распределений. Для нормального распределения с плотностью распределения

оцениваемыми параметрами являются тx и sx соответственно по выборочной средней х и исправленной дисперсии S2.

Для равномерного распределения с параметрами  тx и sx, статистическая оценка:

где  - крайние члены вариационного ряда, а для двойного экспоненциального распределения статистической оценкой тx является medх.

Это говорит о том, что для распределений, отличных от нормального, статистические оценки параметров существенно отличаются от оценок параметров для нормального распределения.

Вторым классическим методом получения оценок является метод моментов. Он заключается в том, что выборочные моменты, полученные по экспериментальным данным, приравнивают к теоретическим значениям моментов, полученным по известному виду распределения и зависящим от неизвестных параметров. Для нормального распределения метод моментов дает оценки:  и Dв.

Третьим методом получения оценок является метод наименьших квадратов, являющийся частным случаем метода максимального правдоподобия для нормального распределения.

Основными задачами классических методов обработки экспериментальных данных являются: проверка гипотезы о нормальности распределении для проверки согласованности экспериментальных данных с теоретической моделью или с ее параметрами; сравнение средних значений и дисперсий для нормальных выборок, при этом сравнивают параметр одной выборки с заданным значением или параметры двух выборок. При обработке нескольких групп проверять необходимо однородность групп, то есть совпадение их функций распределения. Проверка однородности групп с нормальным распределением осуществляется путем сравнения средних значений и дисперсий групп. Группы считаются однородными, если принимаются гипотезы равенства средних и дисперсий.

Предел функции к точке

а) не корень  и не корень

Тогда необходима непосредственная подстановка значения предела в функцию:

б)  – корень числителя, но не корень знаменателя

г)  – корень числителя и корень знаменателя

– неопределенность

Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема об определителе произведения двух матриц. Обратная матрица. Явная запись обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.
Линейные однородные дифференциальные уравнения